O mundo platônico da matemática

      Platão já mencionava a existência de um "mundo" ideal. Um mundo perfeito e externo ao nosso, onde existe a perfeição, tanto das ideias quanto das formas matemáticas. Como contraste a este mundo podemos pensar na nossa realidade material, onde nosso cérebro e mente, imprecisos e imperfeitos como são, relacionam como podem elementos racionais e emocionais.  Podemos dizer que, assim como o mundo (platônico) da matemática é o mundo da perfeição, o mundo físico é a morada da imperfeição.  Mesmo que em nossa imaginação consigamos vislumbrar a mais perfeita das formas, é muito difícil, pra não dizer impossível, trazê-la (ou materializá-la) em nossa realidade existência/física. 
      Eis um exemplo para elucidar esta ideia. Imaginemos um cubo. Com forma e dimensões exatas, perfeitas, impecáveis! Agora vamos nos empenhar a trazê-lo do mundo da imaginação para a realidade concreta/física, ou seja, vamos construir este cubo. Podemos tentá-lo fazendo uso dos mais resistentes e maleáveis materiais disponíveis, empregando as melhores e mais modernas técnicas e máquinas disponíveis. Aí surge uma pergunta: será que o resultado será um cubo perfeito?  E a resposta é um (perfeitamente redondo) não!  É muito provável que diante de um microscópio, à menor ampliação possível, já se evidenciem suas falhas. Não falhas estruturais, mas descontinuidades, sinuosidades, entre outras imperfeições. E quanto mais ampliamos mais imperfeições aparecem. Até surgir a descontinuidade última, assim que adentrarmos a  escala atômica.  Por outro lado, no mundo da matemática, o cubo perfeito não possui qualquer falha. Podemos ampliá-lo indefinidamente, atribuindo-lhe as dimensões de uma galáxia! Mas mesmo assim, nenhuma imperfeição ou irregularidade é encontrada. Continua totalmente uniforme e perfeito. Com suas medidas e formas indiscutivelmente exatas, de vértice à vértice!
    Será que foi possível compreender ou visualizar um pouco do que se trata este mundo da perfeição matemática, que é o mesmíssimo mundo ideal citado por Platão?
   Vamos deixar claro que este mundo platônico não se trata de um mundo "real" propriamente dito. Mas sim de uma ideia, uma concepção de um mundo cuja existência, segundo Roger Penrose, "é realmente apenas a objetividade da verdade matemática", ou seja, algo só possui uma existência platônica se estiver inserido na verdade objetiva da matemática. Tentando esclarecer melhor este ponto cito mais este trecho:
       (Daqui em diante citarei diversos trechos do livro que me inspirou a escrever este post e a batizar este blog: "The Road to Reality" de R. Penrose. Obs.: Tradução livre, textos originais no fim da postagem)

     "As formas matemáticas do mundo de Platão, nitidamente não possuem o mesmo tipo de existência tal qual outros objetos ordinários do mundo físico, como por exemplo mesas e cadeiras. Também não possuem localização espacial; nem existem no tempo. Noções matemáticas objetivas precisam ser compreendidas como entidades atemporais e não devem ser vistas como trazidas à existência no momento em que foram humanamente percebidas." ¹  (pg. 17)

E ainda:

"A existência platônica, a meu ver, refere-se à existência de um padrão externo objetivo que não depende de opiniões individuais, nem de nossa cultura particular." ² (pg. 13).

  Deixando assim bem claro que esta objetividade matemática está além da opinião ou percepção do indivíduo, e, por isso mesmo, esta deve ser a linguagem utilizada pela ciência. 

Vou concluir este texto apenas citando (com minhas próprias palavras) algo que Penrose diz, no intuito de ajudar o leitor a compreender melhor este conceito: todo o infinitamente complexo fractal conhecido como "conjunto de Mandelbrot", não foi "descoberto" por Bernoit Mandelbrot, nem foi criado no momento em que os matemáticos plotaram pela primeira vez suas intricadas rendas e vórtices; revelando-se, provavelmente, muito mais elaborado e complexo do que Bernoit e outros pesquisadores anteriores a ele (R. Brooks e J. P. Mateslky), poderiam conceber. Também não surgiu no momento em que a concepção geral de tal forma foi idealizada. Na verdade, o conjunto de Mandelbrot sempre existiu no "mundo da matemática".  
                    
                        "Estes designs já "existiam", desde o início dos tempos, no sentido potencial atemporal de que seriam necessariamente revelados precisamente na forma que os percebemos hoje, não importa que horas ou em que local algum ser pensante tenha escolhido examiná-los". (pg. 17) ³

         Eis aqui a imagem utilizada pelo autor para ilustrar as conexões entre o mundo físico, o mundo da matemática e mundo mental.  

Três mundos e três profundos mistérios entre suas conexões

   Em breve pretendo fazer um post inteiramente dedicado à interpretação desta imagem, segundo a ótica de Penrose.  

  
1. "The mathematical forms of Plato's world clearly do not have the same kind of existence as do ordinary physical objects such as tables and chairs. They do not have spatial locations; nor they do exist in time. Objective mathematical notions must be thought of as timeless entities and are not to be regarded as being conjured into existence at the moment that they are first humanly perceived". 2.  "Platonic existence, as I see it, refers to the existence of an objective external standart that is not dependent upon individual opinions nor upon our particular culture".  
  3. "Those design were already "in existence" since the beginning of time,  in the potencial timeless sense that they would be necessarily be revealed precisely in the form that we perceive them today, no matter in what time or in what location some perceiving being might have chosen to examine them."